朗道力学笔记 II

范围：第二章守恒定律第三章运动方程的积分

朗道力学笔记 II二、守恒定律1.运动积分、守恒量2.各种守恒量2.1 时间的均匀性、能量2.2 空间的均匀性、动量2.3 空间各向同性、角动量3. 力学系统的相似性三、运动方程的积分1. 单自由度的振动2. 两体运动与有心力场

二、守恒定律

1.运动积分、守恒量

$t$ $q, \dot q$ 运动积分 $s$ $2s-1$ 个独立的运动积分。

$q,\dot q$ $2s$ $t_0$ $q(t),\dot q(t)$ $q(t-t_0),\dot q(t-t_0)$ $t_0$ 可以是一个独立常量。）于是解可以被写成：

\begin{matrix} q_{i} = q_{i} (t - t_{0}, c_{1}, . . ., c_{2 s - 1}) \\ {\dot{q}}_{i} = {\dot{q}}_{i} (t - t_{0}, c_{1}, . . ., c_{2 s - 1}) \end{matrix}

$c_1,...,c_{2s-1}$ ，它们即为那些独立的运动积分。 $2s-1$ 个运动积分，没有体现只有。

运动积分中那些由于对称性而产生的被称为守恒量。

2.各种守恒量

2.1 时间的均匀性、能量

由于时间的均匀性，封闭系统的拉格朗日量不显含时间。故有：

\begin{aligned} \frac{\partial L}{\partial t} & = 0 \\ \Rightarrow \frac{d L}{d t} & = \sum_{i} \frac{\partial L}{\partial q_{i}} {\dot{q}}_{i} + \sum_{i} \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{i}} {\ddot{q}}_{i} \\ = \sum_{i} {\dot{q}}_{i} \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{i}} + \sum_{i} \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{i}} {\ddot{q}}_{i} \\ = \sum_{i} \frac{d}{d t} (\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{i}} {\dot{q}}_{i}) \\ \Rightarrow 0 & = \frac{d}{d t} (L - \sum_{i} \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{i}} {\dot{q}}_{i}) \end{aligned}

（中间第三个等号用了拉格朗日方程(1.4)）于是得到守恒量（即能量）：

\begin{matrix} (2.1) & E = \sum_{i} \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{i}} {\dot{q}}_{i} - L = C o n s t . \end{matrix}

$\sum_i \frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\dot q_i=\sum_i \frac{\partial T}{\partial \dot q_i}\dot q_i$ $T$ $\dot q$ $\sum_i \frac{\partial T}{\partial \dot q_i}\dot q_i=2T$ ，故

\begin{matrix} (2.2) & E = 2 T - L = T + U \end{matrix}

显然对于不时变的有外场系统，能量也守恒，因为上面的推导只用了拉格朗日量不显含时间。

2.2 空间的均匀性、动量

空间的均匀性即空间的平移不变性。（注意：讲空间对称性时必须在笛卡尔坐标系下。）拉格朗日量在平移后是不变的：

L (\vec{r}, \vec{v}, t) = L (\vec{r} + \vec{ε}, \vec{v}, t)

$\vec \varepsilon$ 为一小量，再根据它的对称性，得到：

\begin{aligned} 0 & = \vec{ε} \cdot \sum_{i} \frac{\partial L}{\partial {\vec{r}}_{i}} \\ (2.3) & \Rightarrow 0 & = \sum_{i} \frac{\partial L}{\partial {\vec{r}}_{i}} \\ = \sum_{i} \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial {\vec{v}}_{i}} \\ \Rightarrow \sum_{i} \frac{\partial L}{\partial {\vec{v}}_{i}} & = C o n s t . \end{aligned}

（中间第三个等号用了拉格朗日方程(1.4)）代入笛卡尔系下拉格朗日量的形式(1.4)，得到守恒量（即动量）

\begin{matrix} (2.4) & \vec{P} = \sum_{i} m_{i} {\vec{v}}_{i} \end{matrix}

式(2.3)也可以写作：

\begin{matrix} (2.5) & 0 = \sum_{i} \frac{\partial L}{\partial {\vec{r}}_{i}} = - \sum_{i} \frac{\partial U}{\partial {\vec{r}}_{i}} = \sum_{i} {\vec{F}}_{i} \end{matrix}

对于两体系统，该式即为作用与反作用定律。

2.3 空间各向同性、角动量

$\vec \phi$ 后，拉格朗日量不变。相应的变换为：

\begin{matrix} \vec{r} \to \vec{r} + \vec{ϕ} \times \vec{r} \\ \vec{v} \to \vec{v} + \vec{ϕ} \times \vec{v} \end{matrix}

代入拉格朗日函数：

\begin{aligned} 0 & = L (\vec{r} + \vec{ϕ} \times \vec{r}, \vec{v} + \vec{ϕ} \times \vec{v}) - L (\vec{r}, \vec{v}) \\ = \sum_{i} \frac{\partial L}{\partial {\vec{r}}_{i}} \cdot (\vec{ϕ} \times {\vec{r}}_{i}) + \sum_{i} \frac{\partial L}{\partial {\vec{v}}_{i}} \cdot (\vec{ϕ} \times {\vec{v}}_{i}) \\ = \sum_{i} \vec{ϕ} \cdot ({\vec{r}}_{i} \times \frac{\partial L}{\partial {\vec{r}}_{i}}) + \sum_{i} \vec{ϕ} \cdot ({\vec{v}}_{i} \times \frac{\partial L}{\partial {\vec{v}}_{i}}) \\ = \vec{ϕ} \cdot (\sum_{i} {\vec{r}}_{i} \times \frac{\partial L}{\partial {\vec{r}}_{i}} + \sum_{i} {\vec{v}}_{i} \times \frac{\partial L}{\partial {\vec{v}}_{i}}) \\ = \vec{ϕ} \cdot (\sum_{i} {\vec{r}}_{i} \times \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial {\vec{v}}_{i}} + \sum_{i} {\vec{v}}_{i} \times \frac{\partial L}{\partial {\vec{v}}_{i}}) \\ = \vec{ϕ} \cdot \sum_{i} \frac{d}{d t} ({\vec{r}}_{i} \times \frac{\partial L}{\partial {\vec{v}}_{i}}) \\ = \vec{ϕ} \cdot \sum_{i} \frac{d}{d t} ({\vec{r}}_{i} \times {\vec{p}}_{i}) \end{aligned}

故有守恒量（角动量）

\begin{matrix} (2.6) & C o n s t . = \vec{M} = \sum_{i} ({\vec{r}}_{i} \times {\vec{p}}_{i}) \end{matrix}

不知道下面这个是怎么推出来的:

M_{z} = \sum_{a} \frac{\partial L}{\partial ϕ_{a}}

3. 力学系统的相似性

这个内容不知道为什么放在这里。没有理解它和守恒定律的关系。

条件有二：

笛卡尔坐标、没有约束（但可以有外势场）的质点系统。
$U$ $k$ 次其次式，即
$\begin{matrix} (2.7) & U (a \vec{r}) = a^{k} U (r) \end{matrix}$

$\vec r'=\alpha \vec r, t'=\beta t$ ，（质量不变）有：

\begin{matrix} {\vec{v}}^{'} = \frac{α}{β} \vec{v} \\ T^{'} = \frac{α^{2}}{β^{2}} T \\ V^{'} = α^{k} V \end{matrix}

$\frac{\alpha^2}{\beta^2}=\alpha ^k$ 时，拉格朗日量相当于整体乘了一个常数，不会影响运动。这相当于有了一个相似的运动，这两个相似的运动间：

\begin{matrix} (2.8) & \begin{matrix} {\vec{r}}^{'} : \vec{r} = α \\ t^{'} : t = α^{\frac{2 - k}{k}} \\ {\vec{v}}^{'} : \vec{v} = {\vec{P}}^{'} : \vec{P} = α^{\frac{k}{2}} \\ E^{'} : E = α^{k} \\ {\vec{M}}^{'} : \vec{M} = α^{1 + \frac{k}{2}} \end{matrix} \end{matrix}

在上面两个条件下，再加上条件：

力学系统在有限空间中运动

则可得到位力定理：

2 \overset{―}{T} = k \overset{―}{V}

证明：

\begin{aligned} 2 T & = \sum_{i} {\vec{v}}_{i} \cdot \frac{\partial T}{\partial {\vec{v}}_{i}} \\ = \sum_{i} {\vec{v}}_{i} \cdot {\vec{p}}_{i} \\ = \frac{d}{d t} \sum_{i} {\vec{r}}_{i} \cdot {\vec{p}}_{i} - \sum_{i} {\vec{r}}_{i} \cdot \frac{d {\vec{p}}_{i}}{d t} \\ = \frac{d}{d t} \sum_{i} {\vec{r}}_{i} \cdot {\vec{p}}_{i} - \sum_{i} {\vec{r}}_{i} \cdot {\vec{F}}_{i} \\ = \frac{d}{d t} \sum_{i} {\vec{r}}_{i} \cdot {\vec{p}}_{i} + \sum_{i} {\vec{r}}_{i} \cdot \frac{\partial V}{\partial {\vec{r}}_{i}} \\ = \frac{d}{d t} \sum_{i} {\vec{r}}_{i} \cdot {\vec{p}}_{i} + k V \end{aligned}

对时间取平均

2 \overset{―}{T} = k \overset{―}{V} + lim_{τ \to + \infty} \frac{1}{τ} \int_{0}^{τ} (\frac{d}{d t} \sum_{i} {\vec{r}}_{i} \cdot {\vec{p}}_{i}) d t

上式右边后一项有

lim_{τ \to + \infty} \frac{1}{τ} \int_{0}^{τ} (\frac{d}{d t} \sum_{i} {\vec{r}}_{i} \cdot {\vec{p}}_{i}) d t = lim_{τ \to + \infty} \frac{1}{τ} \sum_{i} {\vec{r}}_{i} \cdot {\vec{p}}_{i} = 0

$\sum_i \vec r_i\cdot \vec p_i$ 有限。QED。

三、运动方程的积分

1. 单自由度的振动

由能量守恒(2.2)得在一维笛卡尔坐标系下：

\begin{matrix} \frac{1}{2} m {\dot{x}}^{2} + U (x) = E \\ \Rightarrow \frac{d x}{d t} = \sqrt{\frac{2}{m} (E - U (x))} \\ \Rightarrow d t = \sqrt{\frac{m}{2 (E - U (x))}} d x \end{matrix}

$E$ $x_1$ $x_2$ $x_1<x_2$ ）所需时间:

\begin{matrix} (3.1) & t (x_{1}, x_{2}) = \int_{x_{1}}^{x_{2}} \sqrt{\frac{m}{2 (E - U (x))}} d x \end{matrix}

$E>U(x)$ $x_1(E),x_2(E), (x_1<x_2)$ ，则粒子在势阱中运动的周期

T (E) = 2 t (x_{1} (E), x_{2} (E)) = 2 \int_{x_{1} (E)}^{x_{2} (E)} \sqrt{\frac{m}{2 (E - U (x))}} d x

$T(E)$ $U(x)$ 。

$0$ $x=0$ 处。

\begin{aligned} T (E) & = 2 \int_{x_{1} (E)}^{x_{2} (E)} \sqrt{\frac{m}{2 (E - U (x))}} d x \\ = (\int_{0}^{x_{2} (E)} - \int_{0}^{x_{1} (E)}) \sqrt{\frac{2 m}{E - U (x)}} d x \\ = \int_{0}^{E} \sqrt{\frac{2 m}{E - U}} \frac{d x_{2}}{d U} d U - \int_{0}^{E} \sqrt{\frac{2 m}{E - U}} \frac{d x_{1}}{d U} d U \end{aligned}

$T(E)$ 求导数来转化为微分方程是不好做的，因为有一个反常积分。此处采用如下技巧：

\begin{aligned} \int_{0}^{α} \frac{T (E)}{\sqrt{α - E}} d E & = \int_{0}^{α} d E \int_{0}^{E} d U (\frac{d x_{2}}{d U} - \frac{d x_{1}}{d U}) \sqrt{\frac{2 m}{(E - U) (α - E)}} \\ = \int_{0}^{α} d U \int_{U}^{α} d E (\frac{d x_{2}}{d U} - \frac{d x_{1}}{d U}) \sqrt{\frac{2 m}{(E - U) (α - E)}} \\ = \int_{0}^{α} d U (\frac{d x_{2}}{d U} - \frac{d x_{1}}{d U}) \int_{U}^{α} d E \sqrt{\frac{2 m}{(E - U) (α - E)}} \\ = \int_{0}^{α} d U (\frac{d x_{2}}{d U} - \frac{d x_{1}}{d U}) \sqrt{2 m} π \\ = \sqrt{2 m} π (x_{2} - x_{1}) |_{0}^{α} \end{aligned}

$\int_a^b{\dd x\over (b-x)(x-a)}=\pi$ 。于是可得：

x_{2} (α) - x_{1} (α) = \frac{1}{\sqrt{2 m} π} \int_{0}^{α} \frac{T (E)}{\sqrt{α - E}} d E

2. 两体运动与有心力场

这里讲述了两体运动转化为折合质量在有心力场中的运动，讲述了有心力场中质点运动的通解，最终以平方反比力场为例描述其轨道。概不赘述。